Bewegen von Durchschnittswerten in R. Zur der besten meines Wissens hat R keine eingebaute Funktion, um gleitende Mittelwerte zu berechnen Mit der Filterfunktion können wir jedoch eine kurze Funktion für bewegte Mittelwerte schreiben. Wir können dann die Funktion auf jedem verwenden Daten mav Daten oder mav Daten, 11 Wenn wir eine andere Anzahl von Datenpunkten als die Standard-5-Plotten als erwartete Plot-Mav-Daten angeben wollen. Zusätzlich zu der Anzahl der Datenpunkte, über die zu durchschnittlich, können wir auch die Seiten Argument der Filterfunktionen Seiten 2 verwendet beide Seiten, Seiten 1 verwendet nur vergangene Werte. Post Navigation Navigation Navigation Navigation. Using R für Time Series Analysis. Time Serie Analyse. Diese Broschüre gibt Ihnen, wie Sie die R-statistische Software verwenden, um einige durchzuführen Einfache Analysen, die bei der Analyse von Zeitreihendaten üblich sind. Diese Broschüre geht davon aus, dass der Leser ein Grundwissen über die Zeitreihenanalyse hat und der Schwerpunkt der Broschüre ist es nicht, die Zeitreihenanalyse zu erläutern, sondern vielmehr zu erklären, wie man diese durchführt Analysiert mit R. Wenn du neu in der Zeitreihenanalyse bist und mehr über irgendwelche der hier vorgestellten Konzepte erfahren möchte, empfehle ich das Open University Buch Zeitreihe Produktcode M249 02, erhältlich ab dem Open University Shop Diese Broschüre, werde ich Zeitreihen-Datensätze verwenden, die von Rob Hyndman in seiner Zeitreihen-Datenbibliothek zur Verfügung gestellt wurden. Wenn Sie diese Broschüre mögen, können Sie auch gerne meine Broschüre über die Verwendung von R für biomedizinische Statistiken, Und meine Broschüre über die Verwendung von R für multivariate Analyse. Lesen Sie die Zeitreihe Daten. Die erste Sache, die Sie tun möchten, um Ihre Zeitreihen-Daten zu analysieren, wird es in R zu lesen, und die Zeitreihen zu zeichnen Sie können Daten in R lesen Mit der Scan-Funktion, die davon ausgeht, dass Ihre Daten für aufeinanderfolgende Zeitpunkte in einer einfachen Textdatei mit einer Spalte ist. Zum Beispiel enthält die Datei Daten über das Alter des Todes der aufeinanderfolgenden Könige von England, beginnend mit William der Eroberer ursprüngliche Quelle Hipel Und Mcleod, 1994.Der Datensatz sieht so aus. Nur die ersten Zeilen der Datei wurden gezeigt Die ersten drei Zeilen enthalten einen Kommentar zu den Daten, und wir wollen dies ignorieren, wenn wir die Daten in R lesen, die wir verwenden können Dies, indem Sie den Sprung-Parameter der Scan-Funktion, die spezifiziert, wie viele Zeilen am oberen Rand der Datei zu ignorieren, um die Datei in R zu lesen, ignorieren die ersten drei Zeilen, geben wir. In diesem Fall das Alter des Todes von 42 aufeinander folgend Könige von England in die Variablen Könige gelesen worden sind. Wenn Sie die Zeitreihendaten in R gelesen haben, ist der nächste Schritt, die Daten in einem Zeitreihenobjekt in R zu speichern, so dass Sie R s viele Funktionen zur Zeitanalyse verwenden können Seriendaten Um die Daten in einem Zeitreihenobjekt zu speichern, verwenden wir die ts-Funktion in R Zum Beispiel, um die Daten in den Variablenkönigen als Zeitreihenobjekt in R zu speichern, geben wir ein. Manchmal ist der Zeitreihen-Datensatz, den Sie haben Kann in regelmäßigen Abständen gesammelt werden, die weniger als ein Jahr waren, zum Beispiel monatlich oder vierteljährlich. In diesem Fall können Sie die Anzahl der Daten festlegen, die Daten pro Jahr gesammelt wurden, indem Sie den Frequenzparameter in der ts-Funktion verwenden. Für monatliche Zeitreihen Daten, Sie setzen die Frequenz 12, während für vierteljährliche Zeitreihendaten Sie die Frequenz einstellen 4. Sie können auch das erste Jahr angeben, in dem die Daten gesammelt wurden, und das erste Intervall in diesem Jahr, indem Sie den Startparameter in der ts-Funktion verwenden , Wenn der erste Datenpunkt dem zweiten Quartal 1986 entspricht, würden Sie Anfang 1986 beginnen. Ein Beispiel ist ein Datensatz der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City, von Januar 1946 bis Dezember 1959 ursprünglich gesammelt von Newton Diese Daten sind in der Datei verfügbar. Wir können die Daten in R lesen und als Zeitreihenobjekt speichern, indem wir sie eingeben. Ähnlich enthält die Datei monatliche Verkäufe für einen Souvenirshop an einem Badeort in Queensland, Australien Januar 1987-Dezember 1993 Original-Daten von Wheelwright und Hyndman, 1998 Wir können die Daten in R durch Tippen. Plotting Time Series. Once Sie haben eine Zeitreihe in R gelesen haben, ist der nächste Schritt in der Regel, um eine Handlung der Zeitreihe zu machen Daten, die Sie mit der Funktion in R. For Beispiel tun können, um die Zeitreihen des Todesalter von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England zu zeichnen, geben wir. Wir können aus der Zeitplot sehen, dass diese Zeitreihe wahrscheinlich beschrieben werden könnte Mit einem additiven Modell, da die zufälligen Schwankungen in den Daten sind etwa konstant in der Größe über die Zeit. Ebenso, um die Zeitreihen der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City zu zeichnen, geben wir. Wir können aus dieser Zeitreihe sehen, dass Es scheint saisonale Variation in der Anzahl der Geburten pro Monat gibt es einen Höhepunkt jeden Sommer und ein Trog jeden Winter Wieder scheint es, dass diese Zeitreihe wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden könnte, da die saisonalen Schwankungen grob konstant sind Größe im Laufe der Zeit und scheinen nicht auf das Niveau der Zeitreihen abhängen, und die zufälligen Schwankungen scheinen auch etwa konstant in der Größe über die Zeit. Similarly, um die Zeitreihen der monatlichen Verkäufe für die Souvenir-Shop am Strand zu zeichnen Resort-Stadt in Queensland, Australien, wir Typ. In diesem Fall scheint es, dass ein additives Modell ist nicht geeignet für die Beschreibung dieser Zeitreihe, da die Größe der saisonalen Schwankungen und zufällige Schwankungen scheinen mit dem Niveau der Zeitreihe zu erhöhen , Müssen wir die Zeitreihen umwandeln müssen, um eine transformierte Zeitreihe zu erhalten, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann. Zum Beispiel können wir die Zeitreihen umwandeln, indem wir das natürliche Protokoll der Originaldaten berechnen. Hier sehen wir das Die Größe der saisonalen Schwankungen und zufälligen Schwankungen in der logarithmierten Zeitreihe scheinen im Laufe der Zeit annähernd konstant zu sein und hängen nicht vom Niveau der Zeitreihe ab. So können die logarithmierten Zeitreihen wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden. Decomposing Time Series. Decomposing eine Zeitreihe bedeutet Trennung es in seine konstituierenden Komponenten, die in der Regel eine Trend-Komponente und eine unregelmäßige Komponente, und wenn es sich um eine saisonale Zeitreihe, eine saisonale Komponente. Dcomposing Nicht-saisonale Daten. An - Saisonale Zeitreihe besteht aus einer Trendkomponente und einer unregelmäßigen Komponente Die Zerlegung der Zeitreihe beinhaltet das Versuchen, die Zeitreihen in diese Komponenten zu trennen, dh die Trendkomponente und die unregelmäßige Komponente zu schätzen. Um die Trendkomponente eines Nicht-Saisonalters zu schätzen Zeitreihen, die mit einem additiven Modell beschrieben werden können, ist es üblich, ein Glättungsverfahren zu verwenden, wie z. B. die Berechnung des einfachen gleitenden Durchschnitts der Zeitreihe. Die SMA-Funktion im TTR R-Paket kann verwendet werden, um Zeitreihendaten mit einem zu glätten Einfacher gleitender Durchschnitt Um diese Funktion zu nutzen, müssen wir zuerst das TTR R-Paket installieren, um Anweisungen zum Installieren eines R-Pakets zu erhalten. Siehe Installieren eines R-Pakets Nachdem Sie das TTR R-Paket installiert haben, können Sie das TTR R-Paket laden Durch Eingabe. Sie können dann die SMA-Funktion verwenden, um Zeitreihendaten zu regeln Um die SMA-Funktion zu verwenden, müssen Sie die Auftragsspanne des einfachen gleitenden Durchschnitts mit dem Parameter n angeben, um zB einen einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 5 zu berechnen , Setzen wir n 5 in die SMA-Funktion. Zum Beispiel, wie oben diskutiert, ist die Zeitreihe des Todesalter von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England nicht saisonal und kann wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden, da das zufällige Schwankungen in den Daten sind in der Größe über die Zeit grob konstant. Thus können wir versuchen, die Trendkomponente dieser Zeitreihe durch Glättung mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt zu schätzen. Um die Zeitreihen mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt von Ordnung 3 zu glätten und zu zeichnen Geglättete Zeitreihendaten, wir geben immer noch ziemlich viele zufällige Schwankungen in der Zeitreihe, die mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 3 geglättet werden. Um die Trendkomponente genauer zu schätzen, möchten wir vielleicht versuchen, die Daten zu glätten Mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt einer höheren Ordnung Dies dauert ein bisschen Test-und-Fehler, um die richtige Menge an Glättung zu finden. Zum Beispiel können wir versuchen, mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt der Reihenfolge 8. Die Daten geglättet mit einem einfachen Umzug Der Durchschnitt der Ordnung 8 gibt ein klareres Bild der Trendkomponente, und wir können sehen, dass das Alter des Todes der englischen Könige von etwa 55 Jahren auf etwa 38 Jahre alt während der Regierungszeit der ersten 20 Könige zurückgegangen zu sein scheint Dann erhöhte sich nach dem bis etwa 73 Jahre alt am Ende der Herrschaft des 40. Königs in der Zeitreihe. Decomposing Saisonale Daten. Die saisonale Zeitreihe besteht aus einer Trend-Komponente, eine saisonale Komponente und eine unregelmäßige Komponente Zerlegen der Zeitreihe bedeutet Trennen der Zeitreihen in diese drei Komponenten, die die Schätzung dieser drei Komponenten sind. Um die Trendkomponente und die saisonale Komponente einer saisonalen Zeitreihe, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann, zu schätzen, können wir die Zerlegungsfunktion in R verwenden. Diese Funktion schätzt die Trend, saisonale und unregelmäßige Komponenten einer Zeitreihe, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann. Die Funktion decompose gibt ein Listenobjekt als Ergebnis zurück, wobei die Schätzungen der Saisonkomponente, der Trendkomponente und der unregelmäßigen Komponente in benannten Elementen gespeichert sind Die Liste der Objekte, genannt saisonale, Trend und zufällig. Für Beispiel, wie oben diskutiert, die Zeitreihe der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City ist saisonal mit einem Höhepunkt jeden Sommer und Trog jeden Winter, und kann wahrscheinlich sein Beschrieben mit einem additiven Modell, da die saisonalen und zufälligen Schwankungen scheinen, um ungefähr konstant in der Größe über Zeit zu sein. Um die Tendenz, saisonale und unregelmäßige Bestandteile dieser Zeitreihe zu schätzen, geben wir die geschätzten Werte der saisonalen, Tendenz und unregelmäßigen Bestandteile ein Jetzt gespeichert in Variablen Geburtstimeseriescomponents saisonale, birthstimeseriescomponents Trend und birthstimeseriescomponents zufällig Zum Beispiel können wir die geschätzten Werte der Saisonkomponente ausdrucken, indem wir schreiben. Die geschätzten saisonalen Faktoren werden für die Monate Januar-Dezember gegeben und sind für jedes Jahr gleich Der größte saisonale Faktor ist für Juli etwa 1 46, und der niedrigste ist für Februar etwa -2 08, was darauf hindeutet, dass es scheint ein Höhepunkt in Geburten im Juli und ein Trog in Geburten im Februar jedes Jahr. Wir können die geschätzten Trend, Saisonale und unregelmäßige Bestandteile der Zeitreihe unter Verwendung der Plot-Funktion, zum Beispiel. Die oben genannte Darstellung zeigt die ursprüngliche Zeitreihe oben, die geschätzte Trendkomponente zweite von oben, die geschätzte saisonale Komponente drittens von oben und die geschätzte unregelmäßige Komponentenunterseite Wir sehen, dass die geschätzte Trendkomponente einen kleinen Rückgang von etwa 24 im Jahr 1947 auf etwa 22 im Jahr 1948 zeigt, gefolgt von einem stetigen Anstieg von dann auf etwa 27 im Jahr 1959.Seasonally Adjusting. If Sie haben eine saisonale Zeitreihen, die beschrieben werden können Mit einem additiven Modell können Sie die Zeitreihen saisonabhängig anpassen, indem Sie die saisonale Komponente schätzen und die geschätzte saisonale Komponente von der ursprünglichen Zeitreihe abziehen. Wir können dies mit der Schätzung der saisonalen Komponente, die durch die Zerlegungsfunktion berechnet wird, durchführen Saisonale Anpassung der Zeitreihen der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City, können wir die saisonale Komponente unter Verwendung von Zerlegung abschätzen und dann die saisonale Komponente von der ursprünglichen Zeitreihe subtrahieren. Wir können dann die saisonbereinigten Zeitreihen mit der Handlung aufzeichnen Funktion, durch Tippen. Sie können sehen, dass die saisonale Variation aus der saisonbereinigten Zeitreihe entfernt wurde Die saisonbereinigte Zeitreihe enthält nun nur die Trendkomponente und eine unregelmäßige Komponente. Forecasts mit Exponential Smoothing. Exponential Glättung kann verwendet werden, um kurz zu machen - Therprognosen für Zeitreihen-Daten. Simple Exponential Smoothing. If Sie haben eine Zeitreihe, die mit einem additiven Modell mit konstantem Niveau und keine Saisonalität beschrieben werden können, können Sie einfache exponentielle Glättung verwenden, um kurzfristige Prognosen zu machen. Die einfache exponentielle Glättung Methode liefert eine Möglichkeit, den Pegel zum aktuellen Zeitpunkt zu schätzen. Glättung wird durch den Parameter alpha für die Schätzung des Pegels zum aktuellen Zeitpunkt gesteuert Der Wert von alpha liegt zwischen 0 und 1 Werte von alpha, die nahe bei 0 liegen, bedeuten das Bei der Erstellung von Prognosen über zukünftige Werte wird wenig Gewicht auf die jüngsten Beobachtungen gelegt. Zum Beispiel enthält die Datei den gesamten jährlichen Niederschlag in London für London, von 1813-1912 Originaldaten von Hipel und McLeod, 1994 Wir können die Daten in R und lesen Zeichnen Sie es durch Tippen. Sie können aus der Handlung sehen, dass es annähernd konstante Ebene der Mittel bleibt konstant bei etwa 25 Zoll Die zufälligen Schwankungen in der Zeitreihe scheinen etwa konstant in der Größe im Laufe der Zeit, so ist es wahrscheinlich geeignet, die zu beschreiben Daten mit einem additiven Modell So können wir Prognosen mit einfacher exponentieller Glättung machen. Um Prognosen mit einfacher exponentieller Glättung in R zu machen, können wir ein einfaches exponentielles Glättungsprädiktionsmodell mit der HoltWinters-Funktion in R einsetzen. Um HoltWinters für eine einfache exponentielle Glättung zu verwenden, haben wir Notwendigkeit, die Parameter beta FALSE und Gamma FALSE in der HoltWinters Funktion einzustellen, werden die Beta - und Gamma-Parameter für die exponentielle Glättung von Holt verwendet, oder Holt-Winters exponentielle Glättung, wie unten beschrieben. Die HoltWinters-Funktion gibt eine Listenvariable zurück, die mehrere benannte enthält Elemente. Zum Beispiel, um einfache exponentielle Glättung zu verwenden, um Prognosen für die Zeitreihen der jährlichen Niederschläge in London zu machen, geben wir die Ausgabe von HoltWinters sagt uns, dass der Schätzwert des Alpha-Parameters etwa 0 024 Dies ist sehr nahe bei Null Und erzählt uns, dass die Prognosen auf den jüngsten und weniger jüngsten Beobachtungen beruhen, obwohl etwas mehr Gewicht auf die jüngsten Beobachtungen gelegt wird. Mit Standardausfall macht HoltWinters nur Prognosen für den gleichen Zeitraum, der von unserer ursprünglichen Zeitreihe abgedeckt wird. In diesem Fall ist unsere ursprüngliche Zeit Serie inklusive Niederschlag für London von 1813-1912, also sind die Prognosen auch für 1813-1912.Im Beispiel oben haben wir die Ausgabe der HoltWinters-Funktion in der Liste Variable rainseriesforecasts gespeichert Die Prognosen von HoltWinters werden in einem benannten Element gespeichert Von dieser Liste Variable genannt Fit, so können wir ihre Werte durch Tippen. Wir können die ursprüngliche Zeitreihe gegen die Prognosen durch Tippen. Das Diagramm zeigt die ursprüngliche Zeitreihe in schwarz, und die Prognosen als rote Linie Die Zeitreihe von Prognosen ist viel glatter als die Zeitreihen der ursprünglichen Daten hier. Als Maß für die Genauigkeit der Prognosen können wir die Summe der quadratischen Fehler für die Prognosefehler, dh die Prognosefehler für den Zeitraum, berechnen Abgedeckt von unserer ursprünglichen Zeitreihe Die Summe von quadratischen Fehlern wird in einem benannten Element der Listenvariablen rainseriesforecasts mit dem Namen SSE gespeichert, so dass wir ihren Wert durch Tippen erhalten können. Das ist hier die Summe von quadratischen Fehlern 1828 855. Es ist üblich in der einfachen exponentiellen Glättung, um den ersten Wert in der Zeitreihe als Anfangswert für die Ebene zu verwenden. Zum Beispiel in der Zeitreihe für Niederschläge in London ist der erste Wert 23 56 Zoll für Niederschlag im Jahre 1813 Sie Kann den Anfangswert für den Pegel in der HoltWinters-Funktion mit dem Parameter angeben. Um beispielsweise Prognosen mit dem Anfangswert des auf 23 56 eingestellten Pegels zu setzen, geben wir ein. Wie oben erläutert, stellt HoltWinters standardmäßig Prognosen für die Zeit dar Zeitraum von den ursprünglichen Daten, die 1813-1912 für die Niederschlagszeitreihe ist Wir können Prognosen für weitere Zeitpunkte unter Verwendung der Funktion im R-Prognosepaket Um die Funktion zu nutzen, müssen wir zunächst das Prognose-R-Paket für Anleitungen installieren Wie man ein R-Paket installiert, siehe Wie man ein R-Paket installiert. Wenn Sie das Prognose-R-Paket installiert haben, können Sie das Prognose-R-Paket durch Eingabe eingeben. Wenn Sie die Funktion verwenden, als erste Argument-Eingabe, übergeben Sie es die Prädiktives Modell, das Sie bereits mit der HoltWinters-Funktion ausgestattet haben. Zum Beispiel haben wir im Falle der Regenfall-Zeitreihe das Vorhersagemodell, das mit HoltWinters in den variablen rainseriesforecasts gemacht wurde, spezifiziert. Sie geben an, wie viele weitere Zeitpunkte Sie vorhersagen möchten Der h-Parameter in Zum Beispiel, um eine Prognose von Niederschlägen für die Jahre 1814-1820 8 weitere Jahre mit uns Typ. Die Funktion gibt Ihnen die Prognose für ein Jahr, ein 80 Vorhersage Intervall für die Prognose und ein 95 Vorhersage Intervall für Die Prognose Zum Beispiel ist der prognostizierte Niederschlag für 1920 etwa 24 68 Zoll, mit einem 95 Vorhersage Intervall von 16 24, 33 11.To Plot der Vorhersagen gemacht, können wir die Funktion verwenden. Hier die Prognosen für 1913-1920 sind als geplottet Eine blaue Linie, das 80-Vorhersageintervall als orangefarbener schattierter Bereich und das 95-Vorhersageintervall als gelber schattierter Bereich. Die Prognosefehler werden als die beobachteten Werte abzüglich der vorhergesagten Werte berechnet. Für jeden Zeitpunkt können wir nur die Prognosefehler berechnen Die Zeitspanne, die von unserer ursprünglichen Zeitreihe abgedeckt wird, die 1813-1912 für die Niederschlagsdaten ist Wie oben erwähnt, ist ein Maß für die Genauigkeit des prädiktiven Modells die Summe von quadratischen Fehlern SSE für die in-Beispiel-Prognosefehler. Die in-Beispiel-Prognosefehler werden in den benannten Elementresten der Listenvariablen gespeichert, die von If zurückgegeben werden. Das Vorhersagemodell kann nicht verbessert werden, es sollten keine Korrelationen zwischen Prognosefehlern für sukzessive Vorhersagen vorhanden sein Wenn also Korrelationen zwischen Prognosefehlern bestehen Für sukzessive Vorhersagen ist es wahrscheinlich, dass die einfachen exponentiellen Glättungsprognosen durch eine andere Prognosetechnik verbessert werden können. Um herauszufinden, ob dies der Fall ist, können wir ein Korrelogramm der in-Beispiel-Prognosefehler für die Verzögerungen 1-20 erhalten Berechnen Sie ein Korrelogramm der Prognosefehler mit der acf-Funktion in R Um die maximale Verzögerung zu spezifizieren, die wir betrachten möchten, verwenden wir den Parameter in acf. For Beispiel, um ein Korrelogramm der in-Beispiel-Prognosefehler für den Londoner Niederschlag zu berechnen Daten für die Verzögerungen 1-20, wir geben ein. Sie können aus dem Beispiel-Korrelogramm sehen, dass die Autokorrelation bei Verzögerung 3 nur die Signifikanzgrenzen berührt. Um zu testen, ob es signifikante Hinweise auf Nicht-Null-Korrelationen bei den Verzögerungen von 1-20 gibt, können wir tragen Out ein Ljung-Box-Test Dies kann in R mit der Funktion durchgeführt werden. Die maximale Verzögerung, die wir betrachten möchten, wird mit dem Lag-Parameter in der Funktion angegeben. Zum Beispiel, um zu testen, ob es keine Null-Autokorrelationen gibt, 20, für die in-Probe Prognose Fehler für London Niederschlag Daten, wir type. Here die Ljung-Box Test Statistik ist 17 4, und der p-Wert ist 0 6, so gibt es wenig Beweise für Nicht-Null Autokorrelationen in der in - sample Prognose Fehler bei Lags 1-20.Um sicher, dass das prädiktive Modell nicht verbessert werden kann, ist es auch eine gute Idee zu überprüfen, ob die Prognose Fehler sind normal verteilt mit mittleren Null und konstante Varianz Um zu überprüfen, ob die Prognose Fehler haben Konstante Varianz, können wir eine Zeitplot der In-Probe-Prognose Fehler. Das Diagramm zeigt, dass die In-Probe-Prognose Fehler scheinen etwa konstante Varianz über die Zeit haben, obwohl die Größe der Schwankungen in den Beginn der Zeitreihe 1820 -1830 kann etwas weniger als das zu späteren Terminen, z. B. 1840-1850. Um zu prüfen, ob die Prognosefehler normalerweise mit dem Mittelwert Null verteilt sind, können wir ein Histogramm der Prognosefehler mit einer überlagerten Normalkurve mit dem Mittelwert Null und dem Gleiche Standardabweichung wie die Verteilung von Prognosefehlern Um dies zu tun, können wir eine R-Funktion plotForecastErrors definieren, unten. Sie müssen die Funktion oben in R kopieren, um sie zu benutzen Sie können dann plotForecastErrors verwenden, um ein Histogramm mit überlagerten Normalen zu zeichnen Kurve der Prognosefehler für die Niederschlagsvorhersagen. Die Darstellung zeigt, dass die Verteilung der Prognosefehler grob auf Null zentriert ist und mehr oder weniger normal verteilt ist, obwohl sie im Vergleich zu einer normalen Kurve etwas schief zu sein scheint. Der rechte Schief ist relativ klein, und so ist es plausibel, dass die Prognosefehler normalerweise mit dem mittleren Null verteilt sind. Der Ljung-Box-Test zeigte, dass es bei den Prognosefehlern in der Stichprobe und der Verteilung nur wenige Hinweise auf Nicht-Null-Autokorrelationen gibt Von Prognosefehlern scheint normal mit mittlerem Null verteilt zu sein. Dies deutet darauf hin, dass die einfache exponentielle Glättungsmethode ein adäquates prädiktives Modell für den Niederschlag von London bietet, was vermutlich nicht verbessert werden kann. Darüber hinaus sind die Annahmen, dass die 80- und 95-Vorhersageintervalle darauf beruhen Sind keine Autokorrelationen in den Prognosefehlern, und die Prognosefehler sind normalerweise mit mittlerem Null verteilt und konstante Varianz sind wahrscheinlich gültig. Holt s Exponentielle Glättung. Wenn Sie eine Zeitreihe haben, die mit einem additiven Modell mit zunehmendem oder abnehmendem Trend beschrieben werden kann Keine Saisonalität, können Sie Holt s exponentielle Glättung verwenden, um kurzfristige Prognosen zu machen. Holt s exponentielle Glättung schätzt den Pegel und die Steigung zum aktuellen Zeitpunkt Glättung wird durch zwei Parameter, Alpha, für die Schätzung des Levels zur aktuellen Zeit gesteuert Punkt und Beta für die Schätzung der Steigung b der Trendkomponente zum aktuellen Zeitpunkt Wie bei der einfachen exponentiellen Glättung haben die Parameter alpha und beta Werte zwischen 0 und 1 und Werte, die nahe bei 0 liegen, bedeuten, dass wenig Gewicht ist Platziert auf die jüngsten Beobachtungen bei der Vorhersage von zukünftigen Werten. Ein Beispiel für eine Zeitreihe, die wahrscheinlich beschrieben werden kann, mit einem additiven Modell mit einem Trend und keine Saisonalität ist die Zeitreihe der jährlichen Durchmesser der Frauen s Röcke am Saum, Von 1866 bis 1911 Die Daten sind in der Datei Original-Daten von Hipel und McLeod, 1994.Wir können lesen und zeichnen Sie die Daten in R durch Tippen. Wir können aus der Handlung, dass es eine Erhöhung der Saum Durchmesser von etwa 600 zu sehen Im Jahre 1866 auf etwa 1050 im Jahr 1880, und dass danach der Saumdurchmesser auf etwa 520 im Jahr 1911 sank. Um Prognosen zu machen, können wir ein Vorhersagemodell mit der HoltWinters-Funktion in R anpassen. HoltWinters für Holt s exponentielle Glättung verwenden, müssen wir einstellen Der Parameter Gamma FALSE wird der Gamma-Parameter für die Exponentialglättung von Holt-Winters verwendet, wie nachfolgend beschrieben wird. Zum Beispiel verwenden wir die exponentielle Glättung von Holt, um ein prädiktives Modell für den Rock-Saumdurchmesser zu passen. Der Schätzwert von alpha ist 0 84 , Und von beta ist 1 00 Diese sind beide hoch und sagen uns, dass sowohl die Schätzung des aktuellen Wertes des Levels als auch der Steigung b der Trendkomponente vor allem auf sehr jüngsten Beobachtungen in der Zeitreihe basiert. Das macht gut Intuitive Sinne, da sich das Niveau und die Steigung der Zeitreihen im Laufe der Zeit sehr viel ändern. Der Wert der Summenquadratfehler für die Prognosefehler ist 16954.Wir können die ursprüngliche Zeitreihe als Schwarze Linie, mit den prognostizierten Werten als rote Linie darüber, durch Tippen. Wir können aus dem Bild sehen, dass die in-Beispiel-Prognosen ziemlich gut mit den beobachteten Werten übereinstimmen, obwohl sie dazu neigen, hinter den beobachteten Werten ein wenig zu liegen Bit. Wenn Sie es wünschen, können Sie die Anfangswerte des Levels und der Steilheit b der Trendkomponente mit den und Argumenten für die HoltWinters-Funktion angeben. Es ist üblich, den Anfangswert des Pegels auf den ersten Wert in der Zeit einzustellen Serie 608 für die Röcke Daten und den Anfangswert der Steigung auf den zweiten Wert abzüglich des ersten Wertes 9 für die Römerdaten Zum Beispiel, um ein Vorhersagemodell an die Rock-Saum-Daten mit Holt s exponentielle Glättung anzupassen, mit Anfangswerten von 608 für die Ebene und 9 für die Steigung b der Trendkomponente, wir geben ein. Für eine einfache exponentielle Glättung können wir Prognosen für zukünftige Zeiten, die nicht von der ursprünglichen Zeitreihe abgedeckt sind, mit der Funktion im Prognosepaket machen Zeitreihen-Daten für Rock-Saumen waren für 1866 bis 1911, so dass wir Vorhersagen für 1912 bis 1930 19 weitere Datenpunkte machen können, und zeichnen sie, indem sie schreiben. Die Prognosen werden als blaue Linie dargestellt, wobei die 80 Vorhersageintervalle als Orange sind Schattierten Bereich und die 95 Vorhersageintervalle als gelber schattierter Bereich. Für eine einfache, exponentielle Glättung können wir überprüfen, ob das prädiktive Modell verbessert werden könnte, indem überprüft wird, ob die Prognosefehler in der Stichprobe keine Autokorrelationen ohne Verzögerungen bei den Verzögerungen von 1 bis 20 zeigen Zum Beispiel können wir für die Rock-Saum-Daten ein Korrelogramm durchführen und den Ljung-Box-Test durch Tippen durchführen. Hier das Korrelogramm zeigt, dass die Stichproben-Autokorrelation für die Prognose-Fehler bei der Stichprobe bei Verzögerung 5 die Signifikanzgrenzen übersteigt , Würden wir erwarten, dass einer in 20 der Autokorrelationen für die ersten zwanzig Verzögerungen die 95 Bedeutungsgrenzen durch Zufall allein übersteigen. In der Tat, wenn wir den Ljung-Box-Test durchführen, ist der p-Wert 0 47, was darauf hinweist, dass es wenig Beweise gibt Von Nicht-Null-Autokorrelationen in den Prognosefehlern in den Stichprobenfehlern 1-20. Für eine einfache exponentielle Glättung sollten wir auch überprüfen, dass die Prognosefehler eine konstante Varianz über die Zeit haben und normalerweise mit dem mittleren Null verteilt sind. Wir können dies durchführen Ein Zeitdiagramm von Prognosefehlern und ein Histogramm der Verteilung von Prognosefehlern mit einer überlagerten Normalkurve dar. Die Zeitpläne von Prognosefehlern zeigen, dass die Prognosefehler im Laufe der Zeit eine annähernd konstante Varianz aufweisen. Das Histogramm der Prognosefehler zeigt, dass es plausibel ist Dass die Prognosefehler in der Regel mit mittlerer Null und konstanter Varianz verteilt sind. Der Ljung-Box-Test zeigt, dass es bei den Prognosefehlern nur wenig Hinweise auf Autokorrelationen gibt, während die Zeitplot und das Histogramm der Prognosefehler zeigen, dass es plausibel ist, dass die Prognosefehler werden normalerweise mit mittlerem Nullpunkt und konstanter Varianz verteilt. Daher können wir schließen, dass Holts s exponentielle Glättung ein adäquates Vorhersagemodell für Rock-Saumdurchmesser liefert, was vermutlich nicht verbessert werden kann. Darüber hinaus bedeutet dies, dass die Annahmen, dass die 80 und 95 Prognosen Intervalle basiert auf sind wahrscheinlich gültig. Holt-Winters Exponential Smoothing. If Sie haben eine Zeitreihe, die mit einem additiven Modell mit zunehmenden oder abnehmenden Trend und Saisonalität beschrieben werden können, können Sie Holt-Winters exponentielle Glättung, um kurzfristig zu machen Prognosen. Holt-Winters exponentielle Glättung schätzt den Pegel, die Steigung und die saisonale Komponente zum aktuellen Zeitpunkt Glättung wird durch drei Parameter alpha, beta und gamma gesteuert, für die Schätzungen des Levels, der Steigung b der Trendkomponente und der Saison Komponente zum aktuellen Zeitpunkt Die Parameter alpha, beta und gamma haben alle Werte zwischen 0 und 1 und Werte, die nahe bei 0 liegen, bedeuten, dass bei der Erstellung von Prognosen zukünftiger Werte relativ wenig Gewicht auf die aktuellsten Beobachtungen gelegt wird. Ein Beispiel für eine Zeitreihe, die vermutlich mit einem additiven Modell mit einem Trend und Saisonalität beschrieben werden kann, ist die Zeitreihe des Protokolls der monatlichen Verkäufe für den Souvenirladen an einem Strandort in Queensland, Australien, der oben diskutiert wurde. Um Prognosen zu machen, Wir können ein prädiktives Modell mit der HoltWinters-Funktion platzieren Zum Beispiel, um ein prädiktives Modell für das Protokoll der monatlichen Verkäufe im Souvenir-Shop zu passen, geben wir die geschätzten Werte von Alpha, Beta und Gamma sind 0 41, 0 00 und 0 96. Der Wert von alpha 0 41 ist relativ niedrig, was anzeigt, dass die Schätzung des Pegels zum aktuellen Zeitpunkt auf sowohl neueren Beobachtungen als auch einigen Beobachtungen in der weiter entfernten Vergangenheit basiert. Der Wert von beta ist 0 00, was anzeigt, dass Die Schätzung der Steigung b der Trendkomponente wird nicht über die Zeitreihen aktualisiert und stattdessen gleich ihrem Anfangswert gesetzt. Das macht einen guten intuitiven Sinn, da sich das Niveau ziemlich viel über die Zeitreihe ändert, aber die Steigung b von Die Trendkomponente bleibt annähernd gleich Im Gegensatz dazu ist der Wert von Gamma 0 96 hoch, was darauf hindeutet, dass die Schätzung der saisonalen Komponente zum aktuellen Zeitpunkt nur auf sehr neueren Beobachtungen beruht. Für eine einfache exponentielle Glättung und Holts s exponentielle Glättung , Können wir die ursprüngliche Zeitreihe als schwarze Linie zeichnen, mit den prognostizierten Werten als rote Linie darüber. Wir sehen aus der Handlung, dass die Holt-Winters Exponentialmethode sehr erfolgreich bei der Vorhersage der saisonalen Gipfel ist, die grob auftreten Im November jedes Jahr. Um Prognosen für zukünftige Zeiten zu machen, die nicht in der ursprünglichen Zeitreihe enthalten sind, verwenden wir die Funktion im Prognosepaket Zum Beispiel sind die Originaldaten für den Souvenirverkauf von Januar 1987 bis Dezember 1993 Wenn wir Prognosen machen wollten Für Januar 1994 bis Dezember 1998 48 weitere Monate, und plot die Prognosen, würden wir Typ. Die Prognosen werden als eine blaue Linie gezeigt, und die orange und gelb schattigen Bereichen zeigen 80 und 95 Vorhersage Intervalle. Wir können untersuchen, ob die Vorhersage Modell kann verbessert werden, indem überprüft wird, ob die Prognosefehler in der Stichprobe keine Autokorrelationen ungleich Null bei den Verzögerungen 1-20 zeigen, indem sie ein Korrelogramm durchführen und den Ljung-Box-Test durchführen. Das Korrelogram zeigt, dass die Autokorrelationen für die Prozeßprognose vorliegen Fehler überschreiten nicht die Signifikanzgrenzen für die Verzögerungen 1-20 Darüber hinaus ist der p-Wert für den Ljung-Box-Test 0 6, was darauf hinweist, dass es wenig Hinweise auf Nicht-Null-Autokorrelationen bei den Verzögerungen 1-20 gibt. Wir können überprüfen, ob die Prognose Fehler haben eine konstante Varianz über die Zeit und werden normalerweise mit mittlerem Null verteilt, indem sie eine Zeitplot der Prognosefehler und ein Histogramm mit überlagerter Normalkurve bilden. Aus dem Zeitplot erscheint es plausibel, dass die Prognosefehler eine konstante Varianz über die Zeit haben Das Histogramm der Prognosefehler, scheint es plausibel zu sein, dass die Prognosefehler normalerweise mit dem mittleren Null verteilt sind. Es gibt also wenig Anzeichen für eine Autokorrelation bei den Verzögerungen von 1-20 für die Prognosefehler und die Prognosefehler scheinen normalerweise mit dem mittleren Nullpunkt zu verteilen Und ständige Abweichung über die Zeit Dies deutet darauf hin, dass Holt-Winters exponentielle Glättung ein adäquates prädiktives Modell des Logs der Verkäufe im Souvenir-Shop bietet, was wohl nicht verbessert werden kann. Darüber hinaus sind die Annahmen, auf denen die Vorhersageintervalle basieren, wahrscheinlich gültig. ARIMA Modelle. Exponentielle Glättungsmethoden sind nützlich, um Prognosen zu machen und keine Annahmen über die Korrelationen zwischen aufeinanderfolgenden Werten der Zeitreihen zu machen. Wenn Sie jedoch Vorhersageintervalle für Prognosen vornehmen möchten, die mit exponentiellen Glättungsmethoden durchgeführt werden, benötigen die Vorhersageintervalle die Prognosefehler are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account Autoregressive Integrated Moving Average ARIMA models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series. ARIMA models are defined for stationary time series Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to difference the time series until you obtain a stationary time series If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA p, d, q model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the diff function in R For example, the time series of the annual diameter of women s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time. We can difference the time series which we stored in skirtsseries , see above once, and plot the differenced series, by typing. The resulting time series of first differences above does not appear to be stationary in mean Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series. Formal tests for stationarity. Formal tests for stationarity called unit root tests are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences above does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA p, d,q model for your time series, where d is the order of differencing used For example, for the time series of the diameter of women s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing d is 2 This means that you can use an ARIMA p,2,q model for your time series The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England see above. From the time plot above , we can see that the time series is not stationary in mean To calculate the time series of first differences, and plot it, we type. The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA p,1,q model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model. If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA p, d,q model To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the acf and pacf functions in R, respectively To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set plot FALSE in the acf and pacf functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type. We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 -0 360 exceeds the significance bounds , but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the pacf function, by typing. The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag lag 1 -0 360, lag 2 -0 335, lag 3 -0 321 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3.Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA autoregressive moving average models are possible for the time series of first differences. an ARMA 3,0 model, that is, an autoregressive model of order p 3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA 0,1 model, that is, a moving average model of order q 1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero. an ARMA p, q model , that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate. We use the principle of parsimony to decide which model is best that is, we assume that the model with the fewest parameters is best The ARMA 3,0 model has 3 parameters, the ARMA 0,1 model has 1 parameter, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, the ARMA 0,1 model is taken as the best model. An ARMA 0,1 model is a moving average model of order 1, or MA 1 model This model can be written as Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where Xt is the stationary time series we are studying the first differenced series of ages at death of English kings , mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA moving average model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut the function. The function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg type library forecast , then The output says an appropriate model is ARIMA 0,1,1.Since an ARMA 0,1 model with p 0, q 1 is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA 0,1,1 model with p 0, d 1, q 1, where d is the order of differencing required. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. Let s take another example of selecting an appropriate ARIMA model The file file contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 original data from Hipel and Mcleod, 1994 This is a measure of the impact of volcanic eruptions release of dust and aerosols into the environment We can read it into R and make a time plot by typing. From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series the order of differencing required, d, is zero here. We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use. We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3 The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag lag 1 0 666, lag 2 0 374, lag 3 0 162.The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds especially for lag 19 , the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds 0 666 , while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds -0 126 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2.Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series. an ARMA 2,0 model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2.an ARMA 0,3 model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA p, q mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate. Shortcut the function. Again, we can use to find an appropriate model, by typing , which gives us ARIMA 1,0,2 , which has 3 parameters However, different criteria can be used to select a model see help page If we use the bic criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA 2,0,0 , which is ARMA 2,0 bic. The ARMA 2,0 model has 2 parameters, the ARMA 0,3 model has 3 parameters, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA 2,0 model and ARMA p, q model are equally good candidate models. An ARMA 2,0 model is an autoregressive model of order 2, or AR 2 model This model can be written as Xt - mu Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Xt is the stationary time series we are studying the time series of volcanic dust veil index , mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR autoregressive model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA 2, 0 model with p 2, q 0 is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA 2,0,0 model can be used with p 2, d 0, q 0, where d is the order of differencing required Similarly, if an ARMA p, q mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA p,0,q model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model. Once you have selected the best candidate ARIMA p, d,q model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA p, d,q model using the arima function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, we discussed above that an ARIMA 0,1,1 model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the order argument of the arima function in R To fit an ARIMA p, d,q model to this time series which we stored in the variable kingstimeseries , see above , we type. As mentioned above, if we are fitting an ARIMA 0,1,1 model to our time series, it means we are fitting an an ARMA 0,1 model to the time series of first differences An ARMA 0,1 model can be written Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where theta is a parameter to be estimated From the output of the arima R function above , the estimated value of theta given as ma1 in the R output is -0 7218 in the case of the ARIMA 0,1,1 model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals. You can specify the confidence level for prediction intervals in by using the level argument For example, to get a 99 5 prediction interval, we would type h 5, level c 99 5.We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the function in the forecast R package For example , to forecast the ages at death of the next five English kings, we type. The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings The function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings kings 43-47 , as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions The age of death of the 42nd English king was 56 years the last observed value in our time series , and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67 8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA 0,1,1 model , by typing. As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example , we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA 0,1,1 model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing. Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0 9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1- 20.To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram with overlaid normal curve of the forecast errors. The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero Therefore , it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA 0,1 ,1 does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA 2,0,0 model To fit an ARIMA 2,0,0 model to this time series, we can type. As mentioned above, an ARIMA 2,0,0 model can be written as written as Xt - mu Beta1 Xt - 1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated The output of the arima function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0 7533 and -0 1268 here given as ar1 and ar2 in the output of arima. Now we have fitted the ARIMA 2,0,0 model, we can use the model to predict future values of the volcanic dust veil index The original data includes the years 1500-1969 To make predictions for the years 1970-2000 31 more years , we type. We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing. One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima and functions don t know that the variable can only take positive values Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test. The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0 2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20.To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram. The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0 22.The histogram of forecast errors above shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA 2,0,0 model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon. Links and Further Reading. Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the Kickstarting R website. There is another nice slightly more in-depth tutorial to R available on the Introduction to R website. You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage. To learn about time series analysis, I would highly recommend the book Time series product code M249 02 by the Open University, available from the Open University Shop. There are two books available in the Use R series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. I am grateful to Professor Rob Hyndman for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library TSDL in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, Time series product code M249 02 , available from the Open University Shop. Thank you to Ravi Aranke for bringing to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me Avril Coghlan corrections or suggestions for improvements to my email address alc sanger ac uk.8 4 Moving average models. Rather than use past values of the forecast variable in a regression, a moving average model uses past forecast errors in a regression-like model. Yc et theta e theta e dots theta e. where et ist weißes Rauschen Wir verweisen darauf als MA q Modell Natürlich beobachten wir nicht die Werte von et, also ist es nicht wirklich Regression im üblichen Sinne. Notice that each Wert von yt kann als ein gewichteter gleitender Durchschnitt der letzten Prognosefehler gedacht werden. Allerdings sollten die gleitenden durchschnittlichen Modelle nicht mit der gleitenden durchschnittlichen Glättung verwechselt werden, die wir in Kapitel 6 besprochen haben. Ein gleitendes Durchschnittsmodell wird für die Prognose zukünftiger Werte beim gleitenden durchschnittlichen Glättung verwendet Wird zur Schätzung des Trendzyklus vergangener Werte verwendet. Abbildung 8 6 Zwei Beispiele für Daten aus bewegten Mittelmodellen mit unterschiedlichen Parametern Linke MA 1 mit yt 20 et 0 8e t-1 Rechts MA 2 mit ytet - e t-1 0 8e T-2 In beiden Fällen ist et normal normales Rauschen mit mittlerem Nullpunkt und Varianz eins. Abbildung 8 6 zeigt einige Daten aus einem MA 1 Modell und einem MA 2 Modell Ändern der Parameter theta1, Punkte, Thetaq führt zu unterschiedlichen Zeitreihenmustern Wie bei autoregressiven Modellen ändert die Varianz des Fehlerterms nur den Maßstab der Serie, nicht die Muster. Es ist möglich, jedes stationäre AR-Modell als MA-Inft-Modell zu schreiben. Beispielsweise können wir mit wiederholter Substitution nachweisen Dies für ein AR 1 Modell. Beginn des Phi1y et phi1 phi1y e et phi1 2y phi1 e et phi1 3y phi1 2e phi1 e et text end. Provided -1 phi1 1, wird der Wert von phi1 k kleiner, wenn k größer wird. Yt et phi1 e phi1 2 e phi1 3 e cdots. an MA infty Prozess. Das umgekehrte Ergebnis gilt, wenn wir einige Einschränkungen auf die MA-Parameter auferlegen. Dann wird das MA-Modell als invertierbar bezeichnet. Das heißt, dass wir einen invertierbaren MA q - Prozeß schreiben können Ein AR-Infty-Prozess. Unvertible Modelle sind nicht einfach, um es uns zu ermöglichen, von MA-Modellen in AR-Modelle umzuwandeln. Sie haben auch einige mathematische Eigenschaften, die sie in der Praxis einfacher zu bedienen machen. Die Invertierbarkeitsbeschränkungen sind ähnlich wie die Stationaritätsbeschränkungen. Für eine MA 1 Modell -1 theta1 1.Für ein MA 2 Modell -1 theta2 1, theta2 theta1 -1, theta1 - theta2 1.Mehr komplizierte Bedingungen gelten für q ge3 Wiederum wird R diese Einschränkungen bei der Schätzung der Modelle berücksichtigen.
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